类比思想在教学中的应用
佘爱萍
福清第二中学
古语云：授人以鱼，只供一饭；授人以渔，则终身受用无穷．学知识，更要学方法．类比思想是富于创造性的一种方法,它既是一种逻辑方法，也是一种科学研究的方法，是最重要的数学思想方法之一，在中学数学中有着广泛的应用.
所谓类比法，是通过对两个研究对象的比较，根据它们某些方面（属性、关系、特征、形式等）的相同或相类似之处，推出它们在其它方面也可能相同或相类似的一种推理方法。类比法所获得的结论是对两个研究对象的观察比较、分析联想以至形成猜想来完成的，是一种由特殊到特殊的推理方法．利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼.
一、用类比思想进行新知识的发现与探究
数学教育家波利亚说：“类比就是一种相似．”把两个数学对象进行比较，找出它们相似的地方，从而推出这两个数学对象的其它一些属性也有类似的地方，这是关于概念、性质的教学中最常用的方法.
（一）新旧类比，拓广概念
在学习高中立体几何中“二面角的定义”，可以从平面几何角的概念，通过角的概念，由“平面→空间”、“点 →线”、“线→面”进行类比得出二面角的定义，既可减少二面角的教学难度，使学生更容易接受，又可以使类比思维方法潜移默化地渗透于教学之中.
（二）性质类比，探索解题思路
我们在学习等差数列 时，由等差数列的定义可知：
， ， ， ．把这n－1个式子相加，
即 ，
从而得到一种求数列通项的方法：累加法．
等比数列与等差数列只一字之差，由等比数列定义，有：
，以上各项累乘可得
故可得到求数列通项的另一种方法：累乘法．
例1、设 是首项为1的正项数列，且 （n=1,2,3……）,求它的通项公式.
解： 数列 是首项为1的正项数列，
解得 （舍去）
以下可用累乘法求出通项．
同样,类比思想在圆锥曲线中也有类似的应用．例如求解这样一道证明题：经过椭圆上一点P作椭圆的切线MN，焦点分别为F1、F2，求证：∠MPF2=∠NPF1.
这是一道关于圆锥曲线的光学性质的证明题，若用纯几何学知识来证明是相当复杂的，若应用类比思想则容易得到巧妙的解决方法.
例2：经过圆上一点P作圆的切线MN，圆心为O，那么 ．
证明：依题意，P为切点，是直线MN与圆的唯一的公共点．假设 ，即MN不垂直于OP．过O作MN的垂线交MN于P1，则 ＞ ．另一方面， 在圆外（P为圆与直线的唯一交点），P在圆上，则 ＞ ，这与 ＞ 矛盾,假设不成立,所以有 .
下面应用类比思想来证明上述的椭圆的光学性质.
证明：设直线MN与椭圆有唯一
的公共点P，则P为切点．
假设 ，则在
直线MN上存在一点 ，满足
.作 关于直线
MN的对称点 ，则 三点共线，且 ，
于是有 ＞ ．（※）
而 点在椭圆外（P为椭圆与直线唯一的公共点），显然有 ＜ ，这与（※）矛盾，故假设不成立，所以∠MPF2=∠NPF1.
（三）利用类比，寻求解题通法
例3、设 ， 分别是椭圆 （a＞b＞0）上的两个焦点．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为 ， 时，那么 与 之积是与点P的位置无关的定值．试对曲线Ｃ： ， 写出具有类似特点的性质，并加以证明．（上海市2003年春季高考试题第21题）
解：类似的性质为：若M，N是双曲线 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为 ， 时，那么 与 之积是与点P的位置无关的定值．
设点M的坐标为（m,n），则点N的坐标为（－m,-n）,且 ．
又设点P的坐标为（x,y），由 ， ，
得 ．（※）
将 ， ，
代入（※）得 （定值）．
二、用类比思维进行解题教学
在解题过程中为了寻找问题的解决线索，往往借助于类比方法，以达到启发思路的目的．因此，类比在求解问题中有着广泛的应用．在解题教学中采用类比教学，可以达到梳理知识，归纳题型，总结解题方法的作用.这样做既有利于学生记忆和掌握所学知识，又有利于培养学生思维的灵活性．
（一）结构类比,轻松破题
例4、求证：若 ，则x,y,z成等差数列．
分析: 将题设与方程 ( )有等根的条件 作类比，则猜想此题可以构造一个一元二次方程来求解．
证明：当 时，设有方程 ， （※）
依题设知（※）式的判别式Δ＝0，方程有两个相等的实根，即 ．
此一元二次方程的所有系数和等于零，即 ，
故 为方程（※）的根． ， ．
所以x,y,z成等差数列．
（二）从平面到空间的类比，实现知识的迁移
我们在学习数学的过程中，从已有知识的认知结构出发，对新知识类比的学习，是完成对数学的“再改造”的有效思维策略.在平面几何到立体几何的学习中，我们就时常进行类比，实现知识的迁移.
例5、在平面几何中有“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，类比到立体几何中又有什么结论呢？
解：“正三角形”类比到空间“正四面体”，“任一点到三边距离之和”类比到空间为“任一点到四个面的距离之和”，于是猜想的结论表述为：正四面体内任一点到其各面距离之和为定值.
证明：如图1,边长为a的正三角形ABC内任一点P到三边距离分别为d1 ,d2,d3.
将△ABC分割成三个小三角形:△ABP、△BCP、△ACP.由面积相等,得 ，
为定值，即距离之和为正三角形的高.
图1 图2
类似地,如图2，正四面体ABCD棱长为a，其内部一点P到四个面的距离分别为d1 ,d2,d3，d4,将正四面体分割成以P为顶点，以原四个面为底面的四个小三棱锥，则依体积关系易得
于是 ，
故 =h为定值，即距离之和为正四棱锥的高．
（三）类比函数模型，突破解题难点
例6、设f(x)是定义在R上的偶函数，其函数图象关于直线x=1对称，对于任意的 ， ［0， ］都有 且 ＞0．
（1）求f( )、f( )；（2）证明 是周期函数；
（3）记 ，求 ．
分析：这是一道没有给出具体函数解析式的函数问题，有一定难度，但只要善于进行类比联想，问题还是不难解决的．
第（2）小题要证明其周期性，可联想一些具体的周期函数.在三角函数中, 是定义在R上的偶函数，其图象有对称轴 ， 是它的一个周期, 是 的整数倍．与本题比较可猜测：本题中的函数周期可能为T＝2．
若周期为2成立,则有 ．但其解析式怎么求得，仅仅由题目的已知条件还难以马上看出来．
若我们从条件 能联想到以前所学过的指数函数 （b＞0且b≠1）的类似性质，则可以猜想： ．由这一猜想不难得到第（3）小题的解题方法．
解：（1）对于任意的 ， ［0， ］都有
当 ［0， ］时，都有
由 ，易得 ， ．
（2）由函数关于x=1对称，则有 ，
，
又 是偶函数， ，
∴ 是周期函数．
（3）依题意，对于任意的 ， ［0， ］都有 ,
则
＞0
由（1）知对任意的 ［0， ］都有 ＞0,∴
由（2）知 ．
．
法国数学家拉普拉斯曾说过：“甚至在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比.”因此在平时教学中恰当地应用类比思想，不仅能突出问题的本质，提高教学质量，而且有助于培养学生的创造能力等思维品质，提高他们认识问题和解决问题的能力. |
