不等式的等价问题
夏农
福清第二中学
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的一个重要内容．高中学生在学习<不等式>一章时，会遇到不等式的两类基本问题——“解不等式”与“证明不等式”．解决这两类问题的方式是否相同？学生对此往往不甚了然，其实这二者是有较大区别的．解不等式时，必须求出使不等式成立的所有未知数的值，要做到“不余不漏”，这就要求解决问题的过程是等价变形（或称同解变形）；证明不等式时，只需证明所给条件能够确保所证不等式成立即可，允许条件是充分而非必要的，解决问题的过程可以进行不等价的数量缩放．这里涉及到不等式的等价问题，本文将就这个问题做一点探讨．
在数学问题的求解过程中，等价变形是理想的方式．不等价变形在理想不能实现时退而求其次也是常用的，但必须注意这种不等价变形有没有影响我们所讨论问题的本质，如果有影响，就必须考虑相应的补救措施（如解方程中的验根就是一种典型的补救措施）．由于证明不等式允许条件是充分而非必要的，因此可以用不等价变形．举个简单例子说明．
例１．已知 ，求证： ．
证明： ， （不等式的乘法性质）， （不等式的加法性质）， （移项）．
本题的结论“ ”易知等价于“ 或 ”，该结论显然与条件“ ”是不等价的．在证明过程中，“ ”是“ ” 的充分非必要条件，“ ”是“ ” 的充分非必要条件，而“ ”是“ ”的充分必要条件．这表明，不等式的证明并不要求过程都是等价变形．
解不等式要求解题的过程是等价变形．一个不等式与另一个不等式，或另外几个不等式“等价”，是指它们中的字母的可取值范围完全相同，即要求该字母所取的某个值可使这些不等式同时成立或同时不成立．很明显，这时它们的解集也完全相同，所以“等价”的不等式是“同解”的不等式．“同解”的概念在解不等式中是十分重要的，如果没有“同解”的保证，在不等式的变形中，就可能缩小或扩大未知数的可取值范围，这样就无法判断最后结果是否为原不等式的解集(因为不等式的解集往往含有无限多个元素，所以用代入法逐个进行验算是不可能的)．
那么，如何判断不等式A、B等价呢？我们只要能断定A成立的充要条件是B成立就行了；或者，只要能断定它们中的字母的可取值范围完全相同，且A可以化为B，B也可以化为A就行了．
例２．已知 ，求不等式 的解集．
解：不等式即 ．
．
不等式的解集为 ．
可以看到，例２的求解过程都是等价变形过程． 数学不等式的一种典型运用是“求变量的取值范围”．“求变量的取值范围”与解不等式性质相同，同样要求“不余不漏”，因此解决问题的过程也必须是等价变形过程． 例３．一变量
大于0，另一变量
大于
． （１）它们的取值范围是否等价？ （２）它们的取值是否等价？ 解：（１）
且
，
（传递性）．这表明
和
的取值范围是等价的． （２）显然，
的取值受制于
，例如
，那么
的取值就限制在（１，
）内，此时
．这表明
和
的取值是不等价的． 在例３中，变量
相对于
是独立的，而变量
则受到
的制约．如果两个（或两个以上）变量相互制约，那么在解决有关这些变量的问题时，除了考虑各个变量的各自取值范围外，还要特别注意每个变量因为与其它变量的关联而受到的取值限制． 例４．已知
，求
的取值范围． 学生在解这道题时，容易产生如下错解． 错解：利用不等式的加法性质得到
和
的各自的取值范围，即
，从而得到
，故
的取值范围为
，
． 产生错解的主要原因是学生没有正确认识不等式的等价性．不等式的加法性质“
”中，箭头“
”不是双向的，即箭头左右两边的不等式（组）不一定是等价的，从左边到右边，变量的取值范围可能被扩大．由于例４是求变量
的取值范围，因此要求解题过程的每一步都要保持等价性．错解的过程没有保持等价性，这正是学生所犯的错误． 通过对错解的进一步分析，我们还可以知道，得到
和
的各自的取值范围，即
并无错误，但由于
和
相互关联，将
和
两式相加，就将
的范围扩大了． 正解：设
，由此求得
，再由已知，求得
，于是有
，即
，故
的取值范围为
，
． 在学生学习了“线性规划问题”之后，我们可以对例４中出现的问题做一个几何直观解释． 如图，由线性约束条件
1，得到的可行域是正方形EFGH，而由 线性约束条件
2，得到的可行域是正方形ABCD，正方形EFGH包含在正方形ABCD内．
   由1到2，虽然
和
的各自的取值范围并未扩大，但由于
和
的关联性，
和
的组合
的范围就被扩大了．可以明显地看出，在可行域正方形ABCD中，目标函数
的取值范围是
，
，这正是错解的结论；而在可行域正方形EFGH中，目标函数
的取值范围是
，
，这才是正确的结论． 几何图形很直观地为学生产生错解的原因做了诠释．
|
