浅谈利用相似三角形证明线段成比例
姜治范
吉林省乾安县
在整个初中平面几何教学过程中，证明线段成比例是证法较多的类型题，又是证明较难的问题，只有在教学过程中想办法引导学生自己摸索一定的证明规律，掌握证题的方法的技能和技巧，方可化难为简，较容易地证出结论。因此，本文仅针对如何利用相似三角形证明线段成比例，进行以下几种方法的探讨。
1、如果要证明比例式两边的线段分别是两个三角形的边（或其对应线段），那么，只要证明两个三角形相似。
例：已知：在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC和BD相交于O。
求证： = 。
分析：欲证本题。而比例式左边的两条线段AO与OB是△AOB两边；右边的两条线段CO与OD是△COD的两边。因此，只要证明△AOB∽△COD，就可证明此题结论。这种证法的关键是看比例式两边的线段分别是哪两个三角形的边。从上面可以发现一个规律，即等式一边的两条线段须有一个公共端点，若两条线段只有三个端点，则这两条线段是以这三个端点为顶点的三角形的两边；如果比例式是以 = 这一形式给出的，比例式左右两边的两条线段的端点，均在一条直线上，不能构成三角形。这时，需要将比例式 = 转化成一个等价的式子 = 再进行证明。只要比例式中的四条线段可以分别构成两个相似三角形的边，那么，比例式的变形总是可以的。
2、如果要证是等积式，当转化为比例式时，就应注意尽可能使比例式的两条线段分别只有三个端点，从而找出分别以三个端点为顶点的相似的两个三角形。
例如：在△ABC中AB=AC，D是AB边上的一点，且有BC=DC，
求证：BC =AB·DB。
分析：此题，只要证明 = ，命题就可得证。由于BC、BA在△BCA中，DB、BC在△BDC中，于是，只要证明△BCA∽△BDC即可。
3、如果要证明的比例式中的四条（或三条）线段不位于两三角形中，则需要将线段的比进行转移，使其分别构成两个相似三角形的边，然后再按照上述的方法进行证明。
例：在△ABC中，AD=BD，∠BDE=∠DAC，求证： = 。
分析： 要证 = ，比例式的左、右两边的两条线段，虽然都分别有三个端点，但它们均在一条直线上，不能构成三角形的三个顶点。因此，需将“比”作适当的转移，看能否使比的前后项分别是同一个三角形的两条边。本题可由合比的性质，只要证 = ，而AD=BD。所以只要证 = 即可。而比例式的左边两条线段有四个端点，不能构成三角形。这时可利用比例性质，将比例式转化成 = 。由于AB、BC在△ABC中，AE、AD在△EAD中，于是只要证明△ABC∽△EAD，问题就得证了。
4、如果从图形中不能直接证明线段成比例，则应通过添辅导线才能构成两个相似三角形。在添辅助线时，要设法创造成相似三角形的条件。
例：已知（如图）△ABC中D是AC的中点，F是AB延长线上的一点，DF交BC于E。
求证： = 。
分析：欲证此题，当过A点，作AG∥BC，交FE延长线于G。使△BEF∽△AGF，从而得到证明方法。一般地，证成比例线段需造形的通常引平行线，造成两个相似三角形，进而问题得证。
5、有些综合题通过转移线段造成相似三角形，再证明成比例。
例：已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC。D是BC边的中点，AF⊥BD交BD于F，交BC于E。
求证： =
分析：欲证 = ，在寻觅线索时要考虑两条线段的倍分关系。这样在图形中应找源头2倍线段。题中可知AB=AC=2AD，进而可以想到将AD线段通过全等途径进行转移。以此线段为边构成相似三角形，问题就迎刃而解了。
证明：作CG∥AB交AE的延长线于G。△AGC≌△BDA
推出AD=GC= AB。再证△ABE∽△GCE，从中得出 = = 。
综上所述，利用相似三角形证成比例线段，是一种证成比例线段的重要途径之一。在此类问题的解决过程中，注重线索的发现、利用和拓展，可以培养学生发现问题，利用已有知识解决问题的能力。同时，还可以培养学生的知识迁移能力和类比能力，训练学生的发散式思维。引导学生创造性思考，合作研究证明思路和方法，在激发学生学习热情的同时，提高学生的解题能力。
来稿日期：2010-10-12 |
