浅谈分类讨论思想方法在初中数学学习中的应用
贾 晶
新疆乌鲁木齐市 乌鲁木齐 830000
【摘要】本文揭示了分类讨论思想在初中数学分式、不等式、二次根式、方程、函数、几何、直角坐标系、实际问题内容中的应用。
【关键词】分类；讨论；思想方法
分类讨论是初中阶段另一种重要的数学思想方法，它有利于培养和发展学生思维的条理性、缜密性、灵活性，使学生学会完整地考虑问题、化整为零地解决问题。学生只有掌握了分类的思想方法，才能在解题中分类科学，标准统一，方法灵活，方式多样，做到不重复，不遗漏，并力求最简。下面，本人举例说明分类讨论思想在初中数学学习中的应用。
一、在分式中的应用
[例1] (2010贵阳)先化简： ，当 时，再从－2＜ ＜2的范围内选取一个合适的整数 代入求值。
解：原式=
=
=
在 中，a可取的整数为-1、0、1，而当b=-1时，
①若a=-1,分式 无意义；
②若a=0,分式 无意义；
③若a=1,分式 无意义．
所以a在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）
二、在不等式（组）中的应用
[例2] 解关于x的不等式:ax＋3＞2x+a
解析：通过移项不等式化为（a－2）x>a－3的形式，然后根据不等式的性质可分为a－2＞0,a－2＝0,和a－2＜0三种情况分别解不等式。
解：(1)当a－2＞0，即a＞2时，不等式的解是
(2)当a－2＝0,即a＝2时，不等式的左边＝0，不等式的右边＝－1，所以不等式的解是一切实数
(3)当a－2＜0，即a＜2时，不等式的解是
[例3]为美化城市环境，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆；搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆。
（1）某校九年级一班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来；
（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少？
解析：设搭配A种造型x个，由题意建立关于x的不等式组，由x的正整数性，在不等式的解集中确定x的可能性，并逐一讨论。
解：（1）设搭配A种造型x个，则B种造型为（50-x）个，根据题意，得
解得
∴31≤x≤33
∵x是整数，∴x可取31，32，33，
∴可设计三种搭配方案：①A种园艺造型31个，B种园艺造型19个；②A种园艺造型32个，B种园艺造型18个；③A种园艺造型33个，B种园艺造型17个。
（2）方法一：由于B种造型的成本高于A种造型的成本，∴B种造型越少，成本越低，故方案③成本最低，最低成本为33×800+17×960=42720（元）。
方法二：方案①需成本为31×800+19×960=43040（元）；方案②需成本为32×800+18×960=42880（元）；方案③需成本为33×800+17×960=42720（元）；∴方案③成本最低，最低成本为42720元。
三、在二次根式中的应用
[例4] 已知实数 满足 ，求 的值。
解： ， 。
或
（1） 当 时，
原式= =
（2） 当 时，
原式= 。
原式的值为 或 。
四、在方程中的应用
[例5]若关于x的方程kx2-4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是( )
A. 0，1 B. 0，1，2 C. 1 D. 1，2，3
解：根据方程k的取值，原方程可分一元一次方程和一元二次方程两种情况进行讨论
(1)若k=0时，则原方程为一元一次方程，即方程-4x+3=0有实数根，故k=0满足条件
(2)若k≠0时，则原方程为一元二次方程，由△=(-4)2-4k·3≥0，有实数根，所以k=1
综合(1)、(2)所知，k的非负整数值是0，1，故应选(A)
五、在函数中的应用
[例6]一次函数y=kx+b，当-3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则kb的值为( )
A.14 B.-6 C.-4或21 D.-6或14
解：分k＞0和k＜0两种情况进行讨论
(1)若k＞0时，函数图象y随x的值增大而增大，所以当x=-3时，y=1；当x=1时，y=9，即，解这个方程组得：k=2，b=7，∴kb=2×7=14
(2)若k＜0时，函数图象y随x的值增大而减小，所以当x=-3时，y=9；当x=1时，y=1，即，解这个方程组得：k=-2，b=3，∴kb=-2×3=-6.
综合(1)、(2)可知，kb的值为14或-6
故本题正确答案应选(D)
[例7]某大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店。该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元∕件。销售结束后，得知日销售量p（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=-2x+80(1≤x≤30,且x为整数)；又知前20天的销售价格Q1（元∕件）与销售时间x(天)之间有如下关系：Q1= (1≤x≤20，且x为整数)，后10天的销售价格Q2（元∕件）与销售时间x(天)之间有如下关系：Q2=45(21≤x≤30,且x为整数)。
（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1(元)和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x(天)之间的函数关系式；
（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润。
解析：首先根据“利润=销售收入-购进成本”建立R与x的函数关系，再结合函数的增减性，对自变量的取值范围进行分段讨论。
解：(1)根据题意，得
=
= ；
=
= 。
(2)在
∵
∴当x=10时，R1的最大值为900。
在
∵R2=-50x+2000中，R2的值随x值的增大而减小，
∴当x=21时，R2的最大值是950
∵950>900
∴当x=21即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元。
六、在几何中的应用
[例8] （威海）如图，点A，B在直线MN上，AB＝11厘米，⊙A，⊙B的半径均为 |
