新课标下平面几何教学的反思
铜陵市 孙文婷 244011
【摘要】平面几何的学习,对学生的逻辑思维能力提升有着极大地帮助。新课标考虑到学生的年龄特点和学以致用的目的,淡化了推理论证的要求,由此引发了教育界、数学界的关注。本文试图从一线教师的教学体会,反思平面几何部分的课改得失。
【关键词】平面几何;新课标;推理论证;淡化;反馈
引子:自钱学森之问:“为什么我们的学校总是培养不出杰出人才?”披露以来,引起了教育界的热烈讨论!有人在探寻钱老的成长轨迹时,挖掘出这样一段故事:钱老认为,在北师大附中初三年级听傅老师的几何课,使他第一次明白什么是严谨的科学。一次,傅老师说:“你只要承认公理,那么定理是根据逻辑推断的必然结果。”他一再强调,“这样的理论在中国是如此,在全世界也是如此,拿到火星上去它也是如此”。让钱老第一次明白“什么是严谨的科学”,启蒙是平面几何的学习!
新《课标》关于平面几何教学的改变
我国平面几何教学,在上个世纪八十年代,达到建国以来的巅峰。1992年后,平面几何的教学要求虽然降低,但平面几何论证体系没有大的改变“可以说,直到2000年,中国仍是平面几何教学水平最高的国家之一”。张奠宙先生语,见文1
2001年7月,《九年义务教育数学课程标准(实验稿)》率先推出,并立即在实验区使用,2004年包括安徽省在内的全国大部分地区开始使用。新课标人教版教材对平面几何内容作了重大的改变,几乎是“革命式”的。用“空间与图形”替代“平面几何”,主张学生合作探索,通过看一看、量一量、做一做等操作得到结论,然后基本上是说明式的“证明”。主张几何教学多联系实际,强调实际应用;关于平面几何的逻辑推理则被淡化,只是要求在学生在充分探索,得出图形的直观结论后,“体会推理与论证的必要性”。新《课标》颁布之后,初中数学教材出现了“一标多本”,其中人教版与北师大版使用较多。
对新课标平面几何教学改革的疑问
“看一看、量一量、做一做”属于“实验几何”范畴,证明则属于“论证几何”范畴。早在1939年版的《平面几何》序言中(余介石,徐子豪等编著)就有“几何图形特性,本为直观教材,而证理则为逻辑方法,初学不宜同时顾及两方面。本书分实验几何与理解几何”。不知新课标制定时,是如何否定“初学不宜同时顾及两方面”?新课标的理念“建构主义”与“螺旋式的上升” ,近年已在应用最久的美国遭受质疑与批评!“螺旋式的上升”对平面几何的教学,很容易造成“夹生饭”局面。实际上,初二以后的平面几何的教学更要一鼓作气,这样更有利于激发学生的兴趣,更有利于学生逻辑思维能力的训练,更有利于知识体系的形成。课标前的几何教学中,常常见到一些学生热烈讨论一道题的证法。
对新课标过多强调联系实际和具体应用,著名数学家杨乐院士指出:“在编写中学教材时,我认为完整的体系应重于具体的应用”。如果一定要突出实验几何及几何应用,那么上世纪80年代上海数学教材改革是一个不错的选择。他们将“实验几何”放在初二,论证几何则放到初三。这样的教改既符合学生的年龄特点与认知水平,又不失教育要求。可惜的是没能保持下来,更没能推广。陈省身先生在世时,曾有人就新课标的构想向他请教。当被告知新课标中,几何推理证明要削弱甚至是取消时,陈老说,几何推理的部分不能取消,因为整个数学就是建立在推理上的。但是,陈老的意见并没有得到尊重。
新课标下平面几何教学局面与反馈
课改之初,对平面几何的教学改革,教师们是抱有热情的。大家积极参与其中,希望通过删减过去过繁、过难的几何内容,使学生对平面几何的学习更有兴趣,学习效果更好;希望通过学生的探究,激发学生的学习主动性。这个时期,无论你听哪个教师的公开课,课堂上必然是热闹的,一个班级五六十人,被分成若干小组,几张课桌合在一起,桌上肯定有硬纸板,剪刀,胶水之类的东西。老师一声令下,学生们七手八脚,叽叽喳喳探究起来,一段时间后,便是各组展示汇报,教师总结。一时间,这种教学模式成为课堂教学的一种“时尚”,但凡公开课,没有小组合作,没有多媒体,那绝无可能出现的!也不管内容合不合适,只要课本上要求探究就探究。一教师在八年级进行“平行于三角形一边的直线截其他两边所得的三角形与原三角形相似”,用的是北师大版教材。由于没有学习平行线分线段成比例定理(人教版也是先删后加的),学生只好用测量的办法,我们知道,测量是有误差的,结果可想而知,不管是对应角、对应边完全准确的对应相等、成比例是很难得到的,对于学生的怀疑,该教师只好补充平行线分线段成比例定理,但又怕被人说“穿新鞋走老路”。见文2
应该说新课标下的新教材,确实能让学生感兴趣,材料丰富,插图美观,多数地方的学习,只要求学生在直观感知下说出结论或结果即可,不问为什么,自然难度降低,学生对于当前内容的学习,一般是轻松地,可课后作业及考试中,还是有一些推理论证问题的,这些问题的内容及难度属于新课标范围内,但教师得到的反馈太差,另外不少几何内容前后间隔时间长,学生学到后面,前面的忘了,教师只好再复习。于是有些地方、有些学校觉得北师大版的是不是比人教版的好,换了之后还是有问题。其实,不管哪个版本,都是在新课标理念下编写的,“淡化逻辑推理,强调实际应用”是问题的根源。请看下面几个教学反馈:
1. 安徽省2009年中考第10小题:△ABC中,AB=AC,∠A为锐角,CD为AB边上的高,I为△ACD的内切圆圆心,则∠AIB的度数是 ( )
A.120° B.125 C.135° D.150°
考生此题的解答情况,合肥望龙学校疏忠良老师做了一个调查,共1000份调查问卷,结果如下:见文3
选正确的人数 |
选错误的人数 |
未选答案的人数 |
会做 |
猜的 |
778 |
25 |
136 |
61 |
13.6% |
6.1% |
77.8% |
2.5% |
真正会做的只有13.6%,在选择题中,得分率最低。此题真的很难吗?按说学生平时探究较多,画一个等边三角形,或者按题意画图后测量,都能得出答案(C),没有课改之前的学生也会这样探究,课改之后,探究要多得多,为何没能出成果?原来探究也需要逻辑思维能力。
简析:易得∠AIB=∠AIC,
∠AIC=180°-(∠1+∠2).
注意到CD⊥AB,AI、CI为角平分线,
∴∠1+∠2=(∠DAC+∠DCA)/2=45°,
∴∠AIB=∠AIC=135°.
2. 2010年安徽中考第8题、如图,⊙O过点B 、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=900,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为……( )
(A) (B) (C) (D)
简析:主要根据轴对称性考查圆的垂径定理和等腰直角三角形的性质。反向延长线段OA交BC于点D,可知AD⊥BC,由等腰直角△ABC,∠BAC=900,BC=6,可知AD=CD=3,AC= ,再连OC,在Rt△ODC中利用勾股定理便可求得正确答案OC= 。许多同学误把AC看做⊙O的半径而错选C,还有一些同学无法判断AD⊥BC,从而无从下手。
据太湖县教育局教研室余学明等老师统计,该县考生在10个选择题中,本题得分率最低。
3.一节高一数学课上,在学习用向量法解决三角形重心问题时,有下面一段对话:
师:什么是重心?
生1:角平分线交点。(连“三个内”都丢了)生2:中垂线交点。(连“三条边”也丢了)
在教师的讲解下,学生知道了,初中老师也讲过,忘了!教师接着教学,不能简单讲解,只好再启发:
师:谁知道重心的几何性质?
学生窃窃细语,无人应答。教师只好再启发:
师:BG/GE=?生:2
师:很好!怎么证的?生:三角形相似。
师:哪两个三角形相似,为什么?
生3:△DEG∽△BCG(注:对应点有误)。∠DGE=∠BGC,还有…
看他说不出了,师:D、E分别是AB、AC的中点,那么DE是?
生:中位线!DE∥BC且等于BC的二分之一……。
至此,约5分钟过去了,教师才能进行下面的教学。初中数学关于三角形重心放在哪里呢?放在了初二的“课题学习”里,教材先要求学生探求线段的重心,再就是平行四边形的(含矩形、菱形、正方形),接下来是三角形,用“悬挂法”得到重心后,旁注给出两个“不必回答的问题”,因为第一个问题下边用蓝色字体给出:“三角形三条中线相交于一点,这一点就是三角形的重心”;另一个是“等腰、等边三角形的重心位置有什么特殊性”,似乎只要知道特殊就够了,而且是几乎不用思考的特性,可有可无的问题!更重要的特性却无涉及,也不能涉及,原来三角形相似的内容被挪到了后面。更要命的是课题学习的内容,基本上属于学生自学内容,中考基本不考,就算有“感兴趣”的同学自学,也只能知道“悬挂法”找“物理重心”非“几何重心”,因为真正质地均匀的三角形只存在于数学中。初中数学不要求掌握,可高中教材习题里还需要重心的几何性质。
再看高一学生的数学作业,前言不搭后语的逻辑混乱较之于新课标前普遍多了,凡是需要的解题条件,不加严格的推理论证,而通过“看出来的”不在少数。原来在三角形全等证明中的严格书写,这个训练学生思维严谨,书写规范,表达清楚的好机会,在现行的教材里被削弱了,因为它“呆板,不够创新”。近年来,针对教材内容的编排问题,数学杂志上的商榷、建议、批评文章屡见不鲜。人教版八年级下册P89一道例题的证明,被一教师指出有三处显而易见的书写错误。
结束语
初中平面几何的学习,确实要避免过繁过难的问题,我们需要精中求简,但要保证平面几何的逻辑体系不致破坏。实际上,教师的教学难度基本上看齐于中考、高考,只要运用好“两考指挥棒“,平面几何的教学既不会过难,也不会破坏其完整的体系。如今,由于新课标淡化平面几何的推理论证及逻辑体系,使得各版本的教材中,平面几何有些支离,不利于教学。
“数学是一门严格渐进的课程,中学平面几何可以训练学生的空间想象、逻辑推理能力,对抽象思维的发展有非常重要的作用。数学教育的目的首先在于提高素质水平和能力,而不是单单运用所学的知识和工具,完整的数学体系要重于应用。杨乐院士为现在中学平面几何的教学缺失感到忧虑:“平面几何培养人的直观想象力,分析与证明能力,很难用其他课程替代。”
参考文献
1.张奠宙 平面几何教学的回顾与前瞻[J] 数学教学2005、5
2.彭正香 对一个难以探究的问题的教学[J]中小学数学(初中版)2010、12
3.疏忠良 方法比知识更重要[J] 中小学数学(初中版)2010、10
4.杨乐 谈谈数学的应用与中学数学教育[J] 课程教材教法2010、3
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